Alexander Grothendieck, Laurent Schwartz, funktionaalianalyysi,distribuutioteoria

Alexander Grothendieck

Sekaannuksen välttämiseksi siirrän viime vuoden joulukuulta peräisin olevan kirjoituksen yhteen ja samaan aktiiviseen "blogivirtaan". Huomautan samalla, että Grothendieck'n funktionaalianalyysin tutkijan uraan suuresti vaikuttanut Laurent Schartz sai Fieldsin mitalin vuonna 1950. 
Ylihuomenna sattuu Helsingin yliopiston matematiikan laitoksen kollokviosarjassa olemaan aiheeseen liittyvä esitys:
The next colloquium of the Dept. of Mathematics and Statistics will take place on next Wednesday Nov. 25th, at 4.15 pm in CK112. The guest speaker is Prof. Jesper Lützen (University of Copenhagen) Abstract:
In the fall of 1947 Laurent Schwartz visited Copenhagen and Lund invited by Harald Bohr, who was very impressed and enthusiastic about Schwartz's new theory of distributions. This was Schwartz's first longer trip abroad and he continued to have fond memories of his visit. There is a direct link from this visit to Schwartz's reception of the Fields Medal in 1950. In the talk I shall explain the circumstances around Schwartz's visit to Denmark and Sweden in the context of the development of the theory of distributions.

Grothendieckiin:

Alexander Grothendieck

Tämän päivän (7.12.2014) Hesarissa oli nekrologipalstalla  Osmo Pekosen kirjoitus otsikolla:
Alexander Grothendieck 1928 – 2014, Nero uudisti matematiikan ja katosi.

Facebookin Matematiikka-ryhmässä on ollut ihmettelyä siitä, kuka tämä tuntematon nero oikein oli.

Koska olen itse matematiikan tutkijana toiminut funktionaalianalyysin alalla,
erityisesti Grothendieck'n töistä lähtöisin olevien kysymysten parissa, ajattelin
hiukan valottaa asiaa tältä kannalta.

Ryhdyin kokeilemaan blogikirjoittelua, kun Facebookin kirjoitukset pian katoavat datavirran syövereihin.

Viitteitä

• Grothendieckcircle-sivusto

The Grothendieck Circle mourns the passing away of Alexandre Grothendieck on November 13, 2014.
With the agreement of Grothendieck's family, the work of the Circle to bring Grothendieck's unique story and writings to the public has resumed.

Muita linkkejä

• Wikipedia
• Fermetmagazine,Grotproj
• Godement 2005
• The lives of Alexander Grothendieck-a mathematical visionary, NY times 2014
• Grothendieck obituary, The Telegraph

Funktionaalianalyysia ja algebrallista geometriaa ym.

Useimmissa yllä olevissa viitteissä painotetaan eniten algebrallisen geometrian alan töitä, joiden perusteella AG:lle myönnettiin Fieldsin mitali, josta hän kieltäytyi. (Tulee etsimättä mieleen tapaus Grigori Perelman v. 2006).
Wikipediasta löytyy lyhyt ja ytimekäs jaottelu, jossa funktionaalianalyysin osuus myös näkyy:
On the advice of Cartan and André Weil, he moved to the University of Nancy where he wrote his dissertation under Laurent Schwartz and Jean Dieudonné in functional analysis, from 1950 to 1953.[16] At this time he was a leading expert in the theory of topological vector spaces.[17] By 1957, he set this subject aside in order to work in algebraic geometry and homological algebra.

Funktionaalianalyysi, topologiset vektoriavaruudet, topologiset tensoritulot

Näihin aiheisiin minut johdatti Kalus Vala, joka oli ranskalaisen matemaatikkokoulukunnan ja "Bourbakismin" suuri ihailija ja tuntija. Hän myös perusti seminaarin, jota itsekin vedin pitkään, ja joka jatkaa edelleen toimintaansa nuorempien sukupolvien johdolla, pisimpään toimineena nykyisenä vastuuhenkilönä Hans-Olav Tylli:

• Funktionaalianalyysin seminaarin vanhemmat sivut  
• Seminaarin nykysivut 

Grothendieck-turhautumaa musiikilla ilmaistuna 

Funktionaalianalyysin alalla Grothendieck'n teokset vaativat kokonaisen uuden koulukunnan selittämään hänen tuloksiaan. Ehkä huomattavin koulukunta tällä alalla oli A. Pietsch:n tutkimusryhmä Jenassa DDR:ssä.
Alan vaihdos algebrallisen geometriaan ei ainakaan helpottanut asiaa, kuten seuraava laulu kertoo.

 Grothendieck-song

(Video jatkuu esitelmällä Jean-Pierre Serre: How to write mathematics badly.)

Taustaa, Matlab-perusteita

Viimeksi kuluneiden runsaan 30:n vuoden kuluessa yhtenä intohimonani on ollut matemaattisten ohjelmistojen ja korkean tason kielien tarjoamien mahdollisuuksien kokeilu ja kehittäminen matematiikan opetuksessa ja tutkimuksessa. Nykyisin aihe on taas erityisen ajankohtainen etenkin koulumaailmassa, jossa ohjelmointia ollaan kovalla ryminällä tuomassa opetukseen mukaan.

Tässä "Mattie-esittelyä" varten tekemäni kooste.

Siinä palautetaan mieleen symbolilaskennan ja numeeristen ohjelmistojen historiaa, ja mukana on laaja linkkilista omiin kursimateriaaleihini vuosien varrelta.

Nostan tässä aikajanani alkupisteeksi esiin kauan ennen Internet-aikoja Helsingin yliopiston matematiikan laitoksella aloittamaamme seminaariin liittyvän näytteen, joka toimitettiin  tuonaikaisella viestintäohjelmalla nimeltään Portacom.

                                 https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/Blogi/HYseminaari83-84.pdf

Aloitan nyt taas Matlab:sta, samasta ohjelmasta, josta silloin  syksyllä 1983 niinikään aloitettiin!! Toden totta, näissä IT-alan  myrskyissä on jotain näin pysyvää. Toki ohjelmassa on tapahtunut valtavasti kehitystä noista alkuajoista, mutta perusrakenteet ja ajattelutapa ovat samat kuin silloin.  Matlab on tänään mitä ajankohtaisin matemaattinen ohjelma ja korkean tason ohjelmointikieli, jolla on erittäin laaja käyttäjäkunta.

Toinen pääkohde on symbolilaskentaohjelma Maple. Maplen kanssa tasavertainen ohjelma on Mathematica, jonka käsittelyn jätän mahdollisten muiden blogikirjotteluuni osallistuvien henkilöiden varaan. "Vierailukirjoittajiksi" ovat alustavasti lupautuneet ainakin Aalto-yliopiston yhteistyökumppanini Juha Kuortti ja Pekka Alestalo .

Eräs intohimoni on näiden vuosien aikana ollut numeerisen korkean tason kielen (kuten Matlab, APL) ja symbolilaskentakielen sopiva yhdistäminen ongelmia ratkottaessa.  Tähän on nyt erillisten ohjelmien "seurustelun" lisäksi tarjolla Matlab:n "symbolic toolbox", jota ohjelman valmistaja Mathworks on viime vuosina tuntuvasti kehittänyt. Mainittu intohimo näkyy "Symbolinen ja numeerinen laskenta"-nimisinä erikoiskursseina, joiden materiaaleihin on linkkejä yllä. Tämä on yksi "toolbox", jota takuuvarmasti tullaan käsittelemään blogeissamme.

Mattie - matematiikkaa tietokoneella 

https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/ 

 

Jarmo Malisen aloitteesta ryhdyimme Eerikki Lehtisen ja Juha Kuortin kanssa rakentamaan Aalto yliopiston matematiikan laitoksella tehtäväportaalia, johon oli määrä kerätä ja edelleen kehittää tehtäviä, ohjeita, opetusmateriaalia, ratkaisuja ym. matematiikan tietokoneharjoitusten tarpeisiin ennen kaikkea sen materiaalin pohjalta, jota oli tällaisia kokeiluja harrastaneiden opettajien toimesta kehittynyt. Simo Kivelältä saatiin alkajaisiksi huomattava määrä käyttövalmiita Mathematica-tehtäviä. Jatkossa painopiste on ollut Matlab- ja Maple-tehtävillä, koska näihin liittyvää materiaalia on itselleni  kertynyt eniten.

Teknisestä toteutuksesta tässä senverran, että tehtävien näkyvillä oleva lähdekoodi on $\LaTeX$:ia, opettaja voi ottaa suoraan tehtävän, ja muokata sitä tarpeen mukaan. Tehtäviä voi selata html-sivulla, jossa matemaattiset kaavat näytetään MathJax:llä: https://www.mathjax.org/ , aivan kuten tässäkin blogissa teemme. (Edellyttää parin "loitsun" kirjoittamista blogin html-koodin alkuun.)


Näytteeksi vaikka eksponenttifunktion sarjakehitelmä:

$$e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}= 1+x + \frac{x^2}{2!} + \ldots$$

Matkan varrella on syntynyt lukuisa määrä oppimateriaalia, kuten Maple-oppikirja, monia Matlab-verkkomateriaaleja, ohjelmistoja hyödyntävää luentomateriaalia, hienoja oppilastöitä niin peruskursseihin kuin erikoiskursseihin liittyen.
Näitä nostamme esiin tämän alkavan "blogimatkan" varrella, "jalostamme" sekä ajanmukaistamme. Samalla täydennämme MattieT - osiota uusilla tehtävillä. Joukkoon sijoitamme myös ns. demotehtäviä, joiden ratkaisut näkyvät kaikille, korjaamme virheitä, ja pyrimme parantamaan käytettävyyttä palautteen mukaan.

Tätä kirjoittaessa syntyi ajatus luokitella tehtäviä myös sen mukaan, soveltuuko tämä matematiikan tason perusteella koulumaailmaan. Niinpä osassa tehtäviä kuvaavaa luetteloa on attribuutti: "KOULU":
https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/MattieT/html/contentsmlBasic.html
Näitä tulee eri aihepiirien sisällysluetteloihin, kunhan ehtii.

Blogin pyrkimyksiä 

 

Blogi voisi toimia myös eräänlaisena etäopiskelukurssina täydentäen ja laajentaen edellä mainittuja lyhytkursseja, joissa jouduimme ajoittain juoksemaan asioita läpi liian vauhdikkaasti vähäisen tuntimäärän vuoksi.
Pyrimme myös tarjoamaan yhtä näkökulmaa koulujen koodausbuumiin esittelemällä ohjelmoinnin ja matematiikan rinnakkaiseloa tehtävillä, joissa koulumatematiikan pohja riittää. 

Aloitamme alkeista, annamme runsaasti viitteitä omatoimiseen opiskeluun, sekä tehtäväehdotelmia, joiden ratkaisut laitamme aikanaan näkyville.

Blogi ei pyri olemaan johdonmukainen opasmateriaali, saatamme hyppiä aiheesta, vaikeusasteesta ja ohjelmasta toiseen. Pyrkimys on joka tapauksessa myös ohjata itseopiskelun polulla. Toisaalta tyypillisiä kirjoituksia voivat olla jotkut kekseliäät ratkaisut, ajattelutavat, tekniset ratkaisut,  ohjelmistojen uudet piirteet, "toolboxit", ohjelmisovalmistajien omista blogeista esiin nostetut ideat, uusien ohjelmistoversioiden tarjoamat tekniikat, mahdollisuudet ovat miltei rajattomat.

Osa blogiteksteistä on tarkoitus kirjoittaa englanniksi, aluksi ainakin niin, että ensin suomeksi, ja sitten sama tai vastaava käännettynä englanniksi, katsotaan, mihin kaikkeen resurssit riittävät.

Matlab:n perusteita, osa 1

 

Miten pääsen ohjelman ääreen

Aalto-yliopistossa sekä henkilökunta että oppilaat saavat Matlab:n omalle koneelleen ohjelmistojakelusta. Opiskelijoille ja oppilaitoksille on saatavissa/neuvoteltavissa edullisia lisenssejä. Sama pätee muihinkin tässä blogissa käsiteltävin ohjelmiin.

Lisäksi  saatavilla on  ilmaiset "kloonit", jotka voi ladata linkeistä

https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/MattieO/octave.html
https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/MattieO/scilab.html


Matlabin hieno editori julkaisuominaisuuksineen, monet toolboxit, ym. eivät ole näillä klooneilla käytettävissä, mutta huomattava määrä Matlab-työskentelyn perusteista toimii samalla tavoin, joten opetteluun ne sopivat vallan hyvin.

Mistä aloitan

 MattieO:n Matlab-sivulla on kattava kokoelma viitteitä

https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/MattieO/matlab.html 

Erittäin suositeltava suomenkielinen opas on Timo Mäkelän
https://sites.google.com/site/laskenta/matlab 
(Samalta tekijältä on myös hyvä Maple-opas.)

Itselläni on erinäisiä html-tekstejä, ne ovat sikäli käteviä tässä yhteydessä, että voin antaa täsmälinkkejä haluamiini kohtiin ja työstää tekstejä lennossa paremmiksi (tai huonommiksi) .
https://math.aalto.fi/~apiola/matlab/opas/mini/Index.html
https://math.aalto.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/
https://math.aalto.fi/~apiola/matlab/opas/mini/tutoriaali.html


Jos pidät video-opetuksesta, voit kokeilla videotutoriaaleja sivulta:
http://se.mathworks.com/academia/student_center/tutorials/launchpad.html
Suositeltavia tässä vaiheessa: (1) Getting started, (2) Writing a Matlab program
Parasta tietysti jälleen, jos Matlab/Octave on samalla auki. Muita videoita ja koodiesimerkkejä on samalla sivulla.

Videoita löytyy Google-haulla suoraan Youtubesta. Seuraavassa on samoja asioita työskentelytyylistä ja  m-tiedostoista (skriptit ja funktiot) hiukan eri esimerkein.
https://www.youtube.com/watch?v=NPd13u4i6fM

Eräs tapa aloittaa, on käydä läpi kevään 2014 kurssille tekemäni ensimmäisen luennon (Beamer)kalvot:

https://math.aalto.fi/opetus/MatOhjelmistot/2014kevat/L/MatlabPerusteet1.pdf

Niissä on mukana myös relevantteja linkkejä.

Lyhyen pohjatiedon hankkimisen jälkeen, vaikkapa viimemainittujen luentokalvojen tai joidenkin muiden yllä olevien viitteiden  perusteella voit käydä esimerkkeihin käsiksi. Parasta on tietenkin jälleen, jos käsillä on Matlab tai Octave (tai Scilab), jolloin voit tehdä sopivia omia muunnelmia.
Matlab-komennot on talletettu tekstitiedostoon, ns. m-tiedostoon, tässä tapauksessa https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/Blogi/Matlab/ExpTaylor.m
Tämä tiedosto on ajettu Matlab:n publish-komennolla (klikkauksella) tiedostoksi
https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/Blogi/Matlab/html/ExpTaylor.html , 
joka samalla näyttää, miten Matlab-työstä saa kauniin html-dokumentin kuvineen. Poimin komennot kuvineen tähän suoraankin, ettei jää pelkän klikkailun varaan. Tämä on samalla blogialustan käyttökokeilua, miten Matlab-julkaisuvälineet ja blogialusta saataisiin parhaiten yhteistyöhön.
Sopivia komentokokonaisuuksia voit suoraan kopioida ("copy/paste") ohjelman komentoikkunaan tai omaan m-tiedostoosi.

Esimerkki 1

Exponenttifunktion Taylorin polynomeja

Matlabin publish-työkalun generoimassa (kauniimmassa) muodossa tässä: 
https://math.aalto.fi/opetus/Mattie/Blogi/Matlab/html/ExpTaylor.html

Kuten yllä jo muistutettiin, sarjakehitelmä on tällainen:

$$e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$$

Matlab-istunto:

close all                         % Suljetaan mahd. avoinna olevat
                                  % grafiikkaikkunat
x = [-2:.01:2];                   % Diskreetti x-akselin väli
y = exp(x);                       % exp-funktion arvot x-pisteissä

Lasketaan Taylorin polynomien arvoja x-pisteissä

p0 = ones(size(x));               % Ykkösistä koostuva vektori
p1 = p0 + x;                      % Lisätään x-vektori
p2 = p1 + (x.^2)/2;               % Seuraava termi, huomaa .^
p3 = p2 + (x.^3)/6;               %  Ja vielä yksi.

Piirretään kaikki samaan kuvaan

plot(x,y)
hold on                    % Seuraavat samaan kuvaan pyyhkimättä vanhaa.

plot(x,p0)
plot(x,p1)
plot(x,p2)
plot(x,p3)
grid on
legend('e^x','p0','p1','p2','p3','Location','NW')  % NW=North West
shg  % "Show Graphics" Ei välttämätön, mutta hyvä.

Entä, jos halutaan laskea ja piirtää korkeamman asteisia?

Otetaan käyttöön for-silmukka, tehdään alusta saakka:

p{1}=ones(size(x)); % Matlab ei salli 0-indeksiä. Huomaa aaltosulut {}.
                % p{k} voidaan ajatella indeksoituna (vektori)muuttujana.
N=10;           % Muuttele tarpeen mukaan
for k=1:N
    p{k+1}=p{k}+(x.^(k))/factorial(k);
end
%%

hold off   % Seuraavat piirtokomennot pyyhkivät edelliset piirrokset 

% Valitaan värit:  'r' = red, 'g'=green, 'k'=black 

plot(x,y,'r--',x,p{3},'g',x,p{5},'b',x,p{9},'k') % Parilliset polynomit
hold on    % Pidetään edelliset
plot(x,y,'r--','LineWidth',2)  % Punainen, paksumpi katkoviiva, jotta
                               % erottuisi seuraavassa p{9}:n kuvaajasta.
grid on
title('e^x ja parillisia Taylorin polynomeja')
legend('e^x','T_2','T_4','T_8','Location','NW')
shg

% Zoomaamalla gragfiikkaikkunan suurennuslasilla, nähdään, missä vaiheessa
% T_8 :n (eli p{9}:n) ja exp(x):n kuvaajat erkanevat.
%

Approksimointivirhe

figure            % Avataan uusi grafiikkaikkuna.
plot(x,y-p{9})    % Piirretään erotus exp(x)-T8(x)
title('Virhe: e^x - T_8(x)')
grid on
shg

Ja lasketaan maksimivirhe:

maksvirhe=max(abs(y-p{9}))
%

maksvirhe =

    0.0018

Jospa nyt maltan lopettaa tällä kertaa tähän.

Lisää esimerkkejä ja tehtäväehdotuksia seuraavalla kerralla.